lunes, 10 de agosto de 2015

El cuento, científicamente probado, de la yaya Concha

Introducción

De esto hace ya unos años...

Era una soleada tarde de invierno en la solitaria Cala Puntal de Vinaròs. Me senté sobre sus caldeados guijarros mirando el horizonte... las olas besaban tímidamente mis desnudos pies... me quedé en silencio, mi respiración era profunda y pausada.

La pedregosa Cala Puntal de Vinaròs (Castelló).  Fuente

Miré alrededor... mis compañeros de meditación eran una infinidad de silenciosos guijarros de procedencia muy diversa y... en medio de ese jardín Zen, ¡estaba yo!

De todas esas piedras que sustentaban mis pensamientos, había una que parecía mirarme, parecía querer contarme algo. No era la más bonita ni la más atrayente de aquella playa: era, tan solo, una ajada caliza de superficie tosca y colores apagados... era, tan solo, un canto rodado aplanado y roto por uno de sus extremos. Lo tomé y, entonces, vi el tesoro que guardaba en su mutilado costado: ¡los restos fósiles de un berberecho!

Canto rodado, recogido en Cala Puntal, con una valva fósil de berberecho

¡Cuánta energía desprendía!, cuanto tenía por contar esa vieja concha, cuanto... ¡a quien supiera escucharla!


Un ambicioso proyecto, "sedimentado", de momento...

En 2011, Mònica Pagès (periodista especializada en música clásica y artes plásticas) nos propuso al artista barcelonés Jordi Pascual Morant y a mí que uniéramos esfuerzos y creáramos un libro de artista. Jordi me dio rienda suelta para que inventara una historia. Por su parte, él pondría toda su experiencia y potencial creativo para plasmarlo y hacerlo realidad.

Autorretrato de Jordi Pascual Morant con Nebulosa (iluminada) 

Pensé que sería interesante explicar la "biografía" de ese fósil incrustado en aquel guijarro. A Jordi, le pareció genial la historia y la forma de presentarla. Nos pusimos manos a la obra, trabajamos duro en su taller. Probamos diferentes materiales para plasmar nuestro diseño y al final elaboramos un prototipo que superaba con creces mi bosquejo original: ¡eso ya era más que un libro de artista! Era, como lo definió el mismo Jordi: ¡un "poema objeto"!

Desgraciadamente, el proyecto se tuvo que aparcar, de forma indefinida, por falta de presupuesto. Jordi me entregó el arquetipo que conservo en casa como uno de mis mayores "tesoros" y que, por razones lógicas, no puedo mostraros públicamente.

Si estáis interesados en invertir en una obra original, con salida y que no dejará indiferente a nadie, poneros en contacto con Jordi Pascual o conmigo y... lo hablamos. :-)


Saber leer... saber sentir lo que nos transmite cualquier piedra

La geología, como un día dijo el doctor Joan Rosell (catedrático de Estratigrafía de la Universitat Autònoma de Barcelona) es la ciencia clásica menos "exacta". Según su opinión, un buen geólogo no sólo ha de tener la mente racional, metódica y abierta del científico... sino que, ¡además!, debería ser sensible, imaginativo y creativo como un poeta.

Columnas de la Universitat Autònoma de Barcelona.  Fuente

Yo pienso que cada piedra es un "libro" con una historia que contar... una historia que un geólogo podrá leer porqué conoce su "abecedario". Pero una piedra también es una "viajera del tiempo" que quiere explicarnos su historia, quiere narrarnos un cuento a las personas que seamos capaces de "escucharla".

Para entender esto que os digo, primero explicaremos de forma científica lo que podemos "leer" de nuestra muestra y, luego, "escucharemos" la historia que quiere contarnos.


1.- Análisis geológico de la muestra:

Desde un punto de vista estrictamente científico, la descripción visual de la muestra F003 (así la catalogué en la base de datos de mi colección) sería la siguiente:

Muestra F003: canto rodado con valva fósil de Cardiidae (Cala Puntal, Vinaròs)

Se trata de un detrito de un depósito litoral actual. Recogido en Cala Puntal de Vinaròs (Castelló), coordenadas E(X): 287525.5 - N(Y): 4484868.0 UTM 31N / ETR S89.

Es una roca carbonatada: una caliza con un alto contenido en dolomía. Tiene una superficie rodada y tosca con colores gris-pardusco. Presenta un contorno irregular y aplanado. Mide de 11 a 7 centímetros de base y de 5 a 3 centímetros de grosor, una masa 0,3 Kg y un peso específico de 1.8 Kg/dm3.

Se puede observar una presencia notable en microfósiles (como nummulites), así como secciones de exoesqueletos de invertebrados y la valva interna (relatívamente bien conservada) de un bivalvo del tipo cardiidae.

Especie de Cardiidae actual.  Fuente

Con toda probabilidad, este canto rodado proviene de la erosión de los estratos mesozoicos del Macizo dels Ports (Tarragona, Castelló y Teruel).


2.- El cuento de la yaya Concha:

Conchita era una pequeña cría de berberecho que vivía plácidamente en un mar tropical poco profundo del Jurásico (hace unos 200 millones de años), en el lugar donde hoy se levantan els Ports de Tortosa y Morella.

Conchita se pasaba el día medio escondida en la arena, con sus sifones desplegados filtrando alimento. En una ocasión, quiso aproximarse cerca de la costa y vio un continente cubierto por una espesa vegetación selvática. Distraída, no se dio cuenta como se acercaba un joven Tastavinsauro que quería "jugar" con ella... afortunadamente, se escondió bajo tierra en el último momento.

Representación de un Tastavinsaurus.  Fuente

Conchita se hizo mayor y dio a luz diferentes crías de berberecho. Pasó el tiempo y... una noche de tormenta tropical murió sin poder llegar a conocer a su nieta. Sus partes carnosas fueron aprovechadas por algún animal. Sus dos conchas, unidas por el frágil ápex quitinoso, se separaron: una de ellas, rápidamente, se fragmentó y se disolvió... la otra, quedó depositada junto a otros exoesqueletos dentro un fino sedimento calcáreo.

Concha de berberecho medio enterrada en el sedimento.  Fuente

Y allí quedó enterrada, preservada de los agentes geológicos externos para siempre... allí quedó intacta, la "yaya Concha", esperando algún día poder ver a su querida nieta...

El Jurásico termino y... lentamente, ese mar poco profundo, donde vivió nuestra protagonista se fue secando. Ese barro calcáreo donde estaba enterrada, se acabó convirtiendo (por diagénesis) con una firme roca carbonatada.

Pasaron milenios y con la orogénesis alpina se crearon grandes cordilleras... ¡nuevos paisajes! Esas rocas carbonatadas que contenían el fósil de la yaya Concha se comenzaron a plegar y levantar, formándose els Ports: ¡izándose a más de mil metros sobre el nivel de "su" mar!

Ports de Tortosa, con su cima: el Mont Caro (1442 m.) en el centro de la imagen.  Fuente

Un levantamiento de nuevos relieves implica siempre que comience una activa erosión sobre las zonas erguidas. La meteorización mecánica acabó separando un gran bloque del estrato donde estaba la yaya Concha. El gran peñasco se desprendió ladera abajo, rompiéndose, a su vez, con otros fragmentos menores.

Mareada y algo aturdida quedó nuestra entrañable fósil, todavía protegida en el interior del fragmento anguloso de roca (ya no mayor que un tetrabrik). La escorrentía superficial la fue bajando por la empinada ladera hasta el fondo del valle... hasta el lecho de un torrente.

Los periodos de tormenta, el barranco sufría grandes crecidas. Las piedras bajaban en tropel, golpeándose unas con otras, rompiéndose y limando sus ariscos contornos. Por cada barrancada, unos metros más avanzaba nuestra protagonista.

Cantos rodados en el lecho de un torrente.  Fuente

Durante uno de estos avances, pugnando con un bolo mucho mayor que ella, nuestro canto fue golpeado rompiéndose uno de sus extremos. La fresca fractura dejó a la vista a la yaya Concha, mostrando la parte interna de su valva, con sus "costillas" bien marcadas.

Ese barranco llevó así a nuestro canto hasta al río Ebro... el agua ya iba cogiendo gusto a sal. El avance sobre el lecho fluvial trasladó a yaya Concha, valientemente arrapada sobre el guijarro, a la desembocadura de este gran río... ¡de nuevo estaba en el mar!

Las corrientes litorales fueron desplazando el canto hacia el sur, hasta que se quedó quieto cerca de la Cala Puntal, con el fósil bien visible en la parte superior de la piedra. El mar estaba en calma y, poco a poco, los berberechos del lugar desplegaron sus sifones para filtrar los nutrientes en suspensión.

Berberecho enterrándose en la arena con la ayuda de su pie. Fuente

Una cría de berberecho apareció cerca del guijarro, la yaya Concha reconoció de inmediato a su tataranieta: ¡que poco había cambiado! La cría se acercó a ese extraño "pedrusco" que tanto se parecía a los suyos y tranquila se acurrucó a su amparo protector.

La yaya Concha pudo así transmitirle todo lo que no pudo decir a su nieta en el Jurásico, le explico su largo camino de 200 millones de años y lo feliz que era de haberla al fin encontrado...

Llegó la noche, la bonanza se convirtió en temporal de levante. "Escóndete bajo tierra, ¡rápido Conchita!" le apremió su tatarabuela. Todos los berberechos, replegaron sus sifones y escarbaron rápidamente el sedimento, colgándose bajo la arena. Conchita miró el cansado y viejo rostro de su tatarabuela, le dio un beso y le dijo: "Hasta siempre yaya Concha... ¡te quiero!".

Representación divertida de la joven Conchita.  Fuente 

Yaya Concha se quedó sola sobre la superficie, el mar se alborotó y levantó con furia el guijarro del suelo. Las olas, ¡altísimas!, lanzaron el canto contra la pedregosa playa. Una y otra vez fue arrastrada y proyectada contra la cala. Los golpes desgastaron aún más los contornos de la vieja valva.

El temporal, finalmente cesó, el canto quedo inmóvil sobre Cala Puntal y... ¡salió el sol!

Pasó mucho tiempo, quizás años... En verano, los ruidosos bañistas iban a esa playa y pisoteaban aquel olvidado canto rodado.

Y una soleada tarde de invierno, un chico llegó a la solitaria cala. Se sentó sobre los caldeados guijarros mirando al horizonte... las olas besaban tímidamente sus desnudos pies... se quedó en silencio, respirando profunda y pausadamente.

Miró alrededor suyo y se fijó en una de las piedras que tenía a su lado.  No era la más bonita ni la más atrayente de aquella playa: era, tan solo, una ajada caliza de superficie tosca y colores apagados... era, tan solo, un canto rodado aplanado y roto por uno de sus extremos. Lo tomó y, entonces, vio el tesoro que guardaba en su mutilado costado: ¡los restos fósiles de un berberecho!

¡Cuánta energía desprendía!, cuanto tenía por contar esa vieja concha, cuanto... ¡a quien supiera escucharla!

Primer plano de la "yaya Concha" sobre su gastado canto rodado

Esta historia tiene algo de cierto y mucho de inventado. Esta historia es lo que transmitió esa vieja concha, a este geólogo enamorado de los cuentos, a este cuentacuentos enamorado de las piedras.

Muchas gracias por vuestra atención.

viernes, 3 de julio de 2015

Una de Indios y Vaqueros

Ya comenzada la segunda mitad de 2015, en humbertsanz.com toca hablar de alguna de Mis Antigüedades. En esta ocasión, vamos a ponernos nostálgicos desempolvando uno de mis juguetes más antiguos que conservo y con el que jugué largas horas (sólo y acompañado) durante mi infancia. Hablaremos de mi Fuerte de madera.

Bienvenido a mi Fuerte… ¡forastero!  :-)

Pero... pongámonos en antecedentes:

A principios de los ochenta, los sábados los pasaba con mis abuelos maternos en su piso de Hostafrancs (Barcelona). Por las tardes, después de comer, solían dar en la televisión una película del “Oeste”.

Screenshot de John Wayne a la película "Fort Apache" (1948)

Los Western, actualmente, quizás sea un género cinematográfico algo anacrónico. Pero hace 3 décadas eran películas fascinantes y, más, vistas por los ojos de un niño... Yo recuerdo quedarme extasiado viendo las frenéticas carreras de caballos, los inagotables tiros y polvaredas, los paisajes, decorados y la épica que desprendían esos films en blanco y negro o color sepia.

Cuando llegaba el siguiente lunes, en el recreo del colegio, rememorábamos la película vista el fin de semana, jugando al patio a “indios y vaqueros”: librando batallas campales caóticas y algo salvajes que acababan siempre con algún niño llorando y algún que otro castigado...

Saliendo del Saloon después del tiroteo. Cinema Studio del Desierto de Tabernas

Si tuviera que dar una lista de las 10 películas del género Western que más recuerdo o más me gustaron, seguramente este sería mi "Top Ten":

  1. Los Siete Magníficos (1960)
  2. El Bueno, el Feo y el Malo (1966) "Trilogía del Dólar"
  3. Murieron con las Botas Puestas (1941)
  4. La Muerte Tenía un Precio (1965) "Trilogía del Dólar"
  5. Sólo ante el Peligro (1952)
  6. Dos Hombres y un Destino (1969) 
  7. Duelo de Titanes (1957) 
  8. Por un Puñado de Dólares (1964) "Trilogía del Dólar"
  9. Fort Apache (1948)
  10. Le Llamaban Trinidad (1970)

Cartel de "Los Siete Magníficos" (1960), basada en "Los Siete Samuráis" de Akira Kurosawa

La mitad de las películas que he citado, fueron rodadas en Almería (lo que se denominó Spaghetti Western). Ya de mayor, he ido muchísimo a estas bellas tierras andaluzas a estudiar su vulcanología y a disfrutar de sus parajes vírgenes.

Y una vez allí, a sido inevitable ir a ver los lugares, pueblos y decorados donde se rodaron esas películas que tanto me fascinaron en mi infancia… sitios como: el decorado del pueblo mejicano de “Los Siete Magníficos” (1960), en el Texas Hollywood de Tabernas; el Cortijo de El Sotillo, cerca de San José, donde se filmó, por ejemolo: “Por un Puñado de Dolares” (1964); la era del pueblo los Albaricoques, donde se disputó el duelo a tres de “El Bueno, el Feo y el Malo” (1966) y tantísimos otros emplazamientos almerienses que os recomiendo que visitéis…

Marta frente la era circular de los Albaricoques, donde se rodó el duelo de “El Bueno, el Feo y el Malo” (1966)

Pues bien, regresando a mi infancia: para que los niños y niñas pudiéramos jugar a “indios y vaqueros” de forma más creativa y calmada (que como lo hacíamos en nuestras “fabulosas” reyertas del recreo) había un juguete estrella que muchos recordareis haber tenido: ¡los Fuertes!, quizás los más famosos fueron los de la juguetera Comansi (que, actualmente, los ha vuelo a relanzar con un vistoso modelo):

Imagen promocional del actual Fuerte de Comansi

A parte del propio Fuerte, era indispensable, para poder montar dioramas y/o jugar, tener un surtido número de figuras de plástico: indios, vaqueros, caballos, carretas, tipis, etc. Estas piezas eran relativamente baratas (se podían comprar en mercadillos, quioscos…) generalmente se entregaban sin pintar (a diferencia de cómo las vende hoy Comansi).


Mi Fort West

Mi Fuerte no sé si es de Comansi ya que, curiosamente, no pone la marca de ningún fabricante ni en la caja ni en el propio juguete. Sea como fuere, es el modelo Fort-West, referencia 5/39, artesanal y hecho en España.

Caja original de mi Fuerte de madera de juguete

Por lo que he visto en Webs de nostálgicos, con modelos similares al mío, pienso que se fabricó en los años sesenta o a principios de los años setenta. A mi me lo regalaron a finales de los setenta.

Visión general de mi Fort West

Como vemos en la anterior imagen, mi Fuerte es de base rectangular y dispone de un suelo desgastado de madera. Nos recibe con un gran cartel donde pone “Fort-West” y, debajo de este, tenemos la robusta puerta de la fortificación.

Detalle interior de la puerta del Fuerte (con bisagras y un firme cierre)

Tiene de una torre de vigilancia (con una tosca escalera de mano para acceder a su mirador) coronada por una ondeante bandera de Estados Unidos de America. También dispone de unos barracones, donde encontramos la caseta del Sheriff y la del Comandante, un amarradero y abrevadero para los caballos.

Torre de vigilancia (con su bandera y escalera), barracones, amarradero y abrevadero para los caballos

Por último, si nos fijamos con la siguiente imagen, vemos que en todo el perímetro interior de las paredes del Fuerte hay pasarelas (excepto donde está: la puerta, los barracones y la torre de vigilancia). En las pasarelas, el tejado de las casetas y, obviamente, en el mirador de la torre, se pueden postrar los pistoleros para defender la fortificación.

Vista aérea de las pasarelas perimetrales, el tejado y la torre: lugares de defensa del Fuerte

Respecto a las piezas de plástico, tengo una variada y representativa selección. Desgraciadamente, muchas de las que atesoré en mi infancia se perdieron o se les corrompió el plástico. Actualmente he ido comprado otras de características similares (como la bonita diligencia) hasta dejar, como fue antaño, mi “set original”.

¡Bien!, hagamos inventario de las piezas de plástico que dispongo:

En primer lugar tengo 14 vaqueros: uno de ellos es el conductor de la diligencia (es la única figura que tengo pintada), otros dos van montados a caballo, después hay uno agachado que suele ponerse conduciendo la carreta y las ocho restantes son figuras sueltas (con su peana incluida).

Mis 14 figuritas de vaqueros, 6 caballos, la diligencia y la carreta

A parte de la citada diligencia y de la carreta cargada “supplies” (provisiones); para los vaqueros tengo los siguientes accesorios: 6 vallas para construir un cercado, un parapeto con escalera, un cañón ligero y 3 árboles.

Accesorios para los vaqueros

Para una perfecta paridad, dispongo también de 14 indios: dos de ellos van montados sobre negros corceles y el resto son figuras sueltas (con su peana incluida).

Mis 14 figuritas de indios y 2 caballos

Si repasamos, contando: los de los jinetes (indios o vaqueros), los de la carreta y los de la diligencia, dispongo de un total de 8 caballos.

Por otra parte, para los indios dispongo de: 4 tipis (cabañas indias), un tótem, una canoa, una hoguera calentando una sartén, una roca (por cierto: de Almería) y un pequeño palmeral.

Accesorios para los indios

Y bien...

Sentado al suelo frente mi viejo juguete, abro su caja desgastada y me invade su añejo aroma... Su interior lo encuentro repleto de color y recuerdos. Monto el cartel y la torre del Fuerte e improviso un sencillo diorama con mis figuras de plástico. Mi corazón de niño se siente por unos instantes feliz y despreocupado…

Mi Fuerte desmontado y con todas las piezas guardadas en su interior

Anonadado miro los detalles de cada escena y mi mente se acaba trasladando hasta el Cortijo del Fraile del Cabo de Gata… ¡Bellísimo emplazamiento!, marcado por unos luctuosos sucesos que impactaron a Federico García Lorca inspirándole a escribir su obra teatral: Bodas de Sangre (1931)... ¡Bellísimo emplazamiento!, que impactó a Sergio Leone, imaginando una hacienda mejicana donde poder rodar sus películas del Lejano y Salvaje Oeste.

Cortijo del Fraile (Almería). Imagen propiedad de www.parquenatural.com 

Y allí, frente a la capilla del cortijo… rodeado de pitas, chumberas y desierto… imagino que soy el audaz pistolero Clint Eastwood, retándome en mortal duelo con el “Malo” de Lee Van Cleef.

... ¡suenan dos disparos! ...

Screenshot de la película Murieron con las Botas Puestas (1941)

jueves, 4 de junio de 2015

La Paradoja de la Edad Menguante


Lo reconozco… ¡me gustan las matemáticas! Siempre tengo algún número rondando por mi cabeza y las cosas más cotidianas las tiendo a simplificar y numerar. También, siempre me han apasionado las paradojas… esas aserciones inverosímiles que se presentan con apariencia de verdaderas.

Y de tanto jugar con números, es normal que mi cerebro tropiece, de vez en cuando, con algún absurdo. A modo de ejemplo, hace ya algún tiempo, publiqué en este blog La Paradoja del Reloj, que reza la siguiente contradicción: “Cuando mayor sea la precisión de un reloj, con menor precisión nos dará la hora”.

Tiempo y precisión se contradicen en la Paradoja del Reloj. Fuente

Pues bien, el otro día, celebrando un aniversario en casa de unos amigos, uno de los invitados dijo: “Martín cumple 35 años y su padre hizo 70 hace un mes… Que curioso… el padre, tiene el doble de la edad del hijo”. Después de una pausa, respondí: “Bueno… de hecho, esto no tiene nada “curioso”… esta coincidencia es de lo más normal: nuestro padre (o cualquier persona) tendrá el doble de nuestra edad, cuando nosotros cumplamos la edad que él tenía cuando nacimos”. Es decir, si nuestro padre nos tuvo con 20 años, cuando nosotros cumplamos 20, el autor de nuestros días tendrá 20+20=40 años (el doble).

Esta perogrullada hizo activar mi mente y calcular diferentes posibilidades y… con la ayuda del pacharán y las risas de los comensales, concluí con un absurdo que titulé: La Paradoja de la Edad Menguante, que afirma lo siguiente:

Al momento de nacer, la edad de nuestro padre es infinitamente mayor que la nuestra. Pero, con el tiempo, acabaremos teniendo, exactamente, la misma edad.


Padre e hijo sostienen un reloj de arena. Fuente

Esta aseveración parece del todo descabellada... ya que, nuestro padre, debería tener siempre la misma diferencia de edad respecto a nosotros. Por ejemplo: si nos tuvo con 30 años, por mucho que pase el tiempo, siempre va ha tener 3 décadas más de diferencia, ¿no? Entonces: ¿pueden explicarme donde está el “truco”?


Resolución matemática de La Paradoja de la Edad Menguante

Para entender esta paradoja, deduje una fórmula matemática que nos ayudará a razonarla adecuadamente. Esta ecuación no sólo sirve para comparar cual es la proporción entre las edades de padre e hijo, sino que podrá aplicarse a dos personas cualquiera.

Para conocer cual es la proporción entre las edades de dos personas, lo que llamaremos el factor de proporcionalidad (F), dividiremos la edad actual de la persona más mayor (Ea) por la edad actual de la más joven (T):


Por ejemplo, si un padre tiene actualmente 40 años (Ea=40) y el hijo 10 años (T=10), el padre tendrá una proporción cuatro veces mayor que la edad del hijo: F=40/10= 4.

Por otra parte, podemos considerar que la edad actual de la persona más mayor (la Ea) es igual a la edad que tenía esta persona cuando nació la más joven (la que denominaremos E) más la edad actual de la persona más joven (la T):


Para nuestro ejemplo anterior: cuando nació el hijo el padre tenía 30 años (E=30) y, actualmente, el hijo (como sabemos) tiene 10 años (T=10). Por tanto, la edad actual del padre es: Ea=30+10=40.

Si substituimos estas dos igualdades, tenemos la fórmula que necesitamos:


Siendo:
T   Años transcurridos desde el nacimiento de la persona más joven (es decir: su edad actual)
E   Edad que tenía la persona más mayor en el momento que nació la más joven
F   Factor de proporcionalidad entre la edades de la persona más mayor respecto la más joven

Jugando con los diferentes parámetros de la fórmula y aplicando diferentes valores, podremos llegar a entender el enunciado de la paradoja.

Miremos algunos ejemplos


1.- Las dos personas tienen la misma edad

En el caso de que las dos personas sean coetáneas, al tener la misma edad: la edad de la “mayor” será de 0 años en el momento de nacer la “menor”, por tanto: E = 0. Si lo aplicamos a la fórmula:


T dividido por T es igual a 1. Así pues, 2 personas nacidas el mismo año siempre tendrán un factor de proporcionalidad de sus edades unitario… ¡lógico!, porqué siempre van a tener las dos la misma edad.

Los hermanos gemelos son el caso más claro de coetaniedad (E=0). Fuente


2.- Una persona tiene el doble de edad que otra

Este es el caso que surgió durante la cena de cumpleaños. Para que una persona tenga el doble de edad que otra, el factor de proporcionalidad entre ambas debe ser: F = 2. Si lo trasladamos a nuestra fórmula: 


Aislamos la T:


Es decir, para que una persona tenga el doble de la edad de otra: la edad de la más joven (que no es más que el tiempo transcurrido T), tiene que ser igual a la edad que tenía la persona con más años, cuando nació la más joven: E.

Y esto no es más que la comprobación matemática de lo que se dijo durante la cena: Martín cumplía 35 años (T=35) y esta era la edad que tenía su padre cuando su hijo nació (E=35); por tanto, ahora su padre tiene el doble de su edad: E+T=70 años.


3.- Una persona tiene el triple de edad que otra 

Si nos interesa saber cuando una persona tendrá el triple de edad que otra, el factor de proporcionalidad, en este caso, será: F = 3. Si lo aplicamos a nuestra fórmula: 


Si aislamos la T:


En este caso, la edad de la persona más joven (T) tiene que ser igual a la mitad de la edad que tenía la mayor cuando la joven nació: E/2.

Por ejemplo: si nuestro padre nos tuvo con 26 años (E=26), cuando nosotros tengamos 13 años (T=26/2), nuestro padre tendrá 39 años (26+13), es decir: 3 veces más que nosotros (39/3= 13).


4.- Una persona tiene diez veces la edad de otra

Si queremos conocer cuando una persona tendrá diez veces la edad de otra, el factor de proporcionalidad deberá ser: F = 10. Si lo trasladamos a nuestra fórmula: 


Si aislamos la T:


Por tanto, en este caso, la persona joven (T) tiene que ser igual a un noveno de la edad de la mayor cuando la joven nació: E/9.

Por ejemplo: si nuestro padre nos tuvo con 45 años (E=45), cuando nosotros tengamos 5 años (T=45/9), nuestro padre tendrá 50 años (45+5), es decir: 10 veces más que nosotros (50/10=5).

Envejecer. Fuente


5.- Una persona tiene infinitas veces la edad de otra

Siguiendo esta progresión… llevada al límite, puede interesarnos cuando una persona tendrá infinitas veces la edad de otra. En este caso, el factor de proporcionalidad tenderá a infinito (F = ∞). Si lo aplicamos a nuestra fórmula: 


Para que se cumpla esta igualdad, T tiene que ser igual a 0, ya que cualquier número (en este caso E), dividido por cero, es infinito:


Que el tiempo transcurrido (T) sea igual a cero, significa que estamos en el momento exacto del nacimiento de la persona más joven. Y esto no es más que la demostración de la primera parte del enunciado de la paradoja: “Al momento de nacer, la edad de nuestro padre es infinitamente mayor que la nuestra”.


6.- Proporción de las edades de dos personas al cabo del tiempo

Por último, si queremos conocer como serán las edades de dos personas después que suceda el tiempo… es decir: cuando T tienda a infinito, y lo trasladamos a nuestra fórmula: 


Considerando que el valor de E es despreciable sumado a infinito, nos queda que el factor de proporcionalidad es igual a un infinito dividido por el "mismo" infinito… es decir: F tenderá a valer 1.

Un factor de proporcionalidad unitario, significa que padre e hijo son coetáneos. Y este ejemplo nos demuestra la segunda parte de la paradoja: “Pero, con el tiempo, acabaremos teniendo, exactamente, la misma edad”.

Hombre que observa el tiempo pasar... Fuente


Conclusiones

  1. El parámetro E es un valor constante: una vez conocida la edad que tenía la persona mayor cuando nació la más joven, este número no variará por más que aumentemos el tiempo transcurrido (T) o el factor de proporcionalidad (F). 
  2. El parámetro E ha de ser mayor que cero (como hemos visto en el primer ejemplo expuesto), esto significa que: para que haya una variación en el factor de proporcionalidad de las edades de dos personas, estas han de haber nacido en diferentes años. 
  3. Los ejemplos del 2 al 5, nos han servido para comprobar que cuanto menor sea el tiempo transcurrido (T), mayor será la proporción de edades entre dos personas (F). En el límite, en el instante del nacimiento de la persona más joven (T=0), la proporción de edades entre las dos será infinita (F=∞). 
  4. El último ejemplo, por su parte, nos ha servido para demostrar lo contrario: cuando mayor sea el tiempo transcurrido (T), menor será el factor de proporcionalidad (F). En el límite, cuando el tiempo transcurrido sea infinito (T=∞), la proporción de edades entre ambas personas será (F=1), es decir, tenderán a tener la misma edad. 

Para visualizar todos los casos expuestos, podemos trazar la gráfica Factor de proporcionalidad respecto el Tiempo transcurrido (F/T) a partir de nuestra fórmula matemática (considerando E un valor constante mayor que cero). La curva resultante tendrá la siguiente forma:



Como podemos observar, la curva traza una asíntota vertical para T=0 y una horizontal para F=1.

Y estas dos asíntotas no son más que la explicación gráfica de las dos partes de la Paradoja de la Edad Menguante, veamos:

  • Asíntota vertical: "Al momento de nacer (para T=0), la edad de nuestro padre es infinitamente mayor que la nuestra (F=∞)".
  • Asíntota horizontal: "Pero, con el tiempo (para T=∞), acabaremos teniendo, exactamente, la misma edad (F=1)".

c.q.d.


Que esta paradoja no nos haga menguar la importancia del tiempo… ¡que importa la edad! Como un día leyó el autor: “Vivamos siempre como si fuera el último día, aprendamos como si hubiéramos de vivir eternamente”.

Junto a mi padre, disfrutando de "nuestro" tiempo. Con una proporción actual de edades de 1,67 (¡y bajando!)

Espero que os haya gustado el escrito ¡Gracias por vuestra atención!